\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\pagestyle{empty}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
	
\begin{center}
{\bf Летние сборы 2002.
Группа Б.
Математический бой.}
\end{center}


{\bf 1.} Множество $S$ cостоит из $2002$ элементов.
В нем выбрано несколько непустых подмножеств.
Для каждого выбранного подмножества $T$ найдется элемент $x\in S\setminus T$ такой, что для любого выбранного подмножества $U$, не содержащего $x$, либо $U=T$, либо  $U\cup T=\emptyset$.
Какое наибольшее количество подмножеств могло быть выбрано?

{\bf 2.} Для произвольных вещественных чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ докажите неравенство
\[{x_1\over 1+ x_1^2}+ {x_2\over 1+ x_1^2+ x_2^2}+\dots +
{x_n\over 1+ x_1^2+ \dots+x_n^2} < \sqrt{n}.\]

{\bf 3.} Доказать, что если $a$, $b$, $c>0$, то $\root 3\of {\left({a\over b+c}\right)^2}+\root 3\of {\left({b\over c+a}\right)^2}+\root 3\of {\left({c\over a+b}\right)^2}\geqslant {3\over \root 3\of 4}$.

{\bf 4.} Вычислите сумму: $S=\sum\limits_{i=0}^{101} {x_i^3\over 1-3x_i+3x_i^2}$, где $x_i={i\over 101}$.

{\bf 5.} Последовательность натуральных чисел $\{a_n\} $ такова, что $\forall m,n \in \mathbb{N} \quad (a_m,a_n)=a_{(m,n)}$.
Докажите, что существует последовательность натуральных чисел $\{b_n\} $ такая, что $\displaystyle {\forall n \in \mathbb{N} \qquad a_n=\prod_{d|n} b_d}.$

{\bf 6.}  Леша расставил на полке в некотором порядке тома $100$ томного собрания сочинений Л.~Н.~Толстого.
Каждое утро Максим приходит, вынимает четыре произвольных тома и ставит их на те же места в любом порядке.
А вечером Леша вынимает три произвольных тома и ставит их на те же места в любом порядке.
Всегда ли Максим сможет поставить на свои места $10$ томов?

{\bf 7.}  Дан остроугольный $\triangle ABC$.
На его сторонах, как на основаниях во внешнюю сторону построены равнобедренные треугольники $DAC$, $EAB$ и $FBC$ такие, что$ \angle ADC=2\angle BAC$, $\angle BEA=2\angle ABC,\quad \angle CFB=2\angle ACB$.
Пусть $D'= DB\cup EF$, $E'=EC\cup DF$ и $F'=FA\cup DE$.
Какие значения может принимать ${DB \over DD'}+ {EC\over EE'} + {FA\over FF'}$?

{\bf 8.} Докажите, что для любого простого $p\geqslant 5$ существует натуральное число $a$ такое, что $1\leqslant a\leqslant p-2$ и ни $a^{p-1}-1$, ни $(a+1)^{p-1}-1$ не делится на $p^2$.

{\bf 9.} Можно ли из нескольких (более одного) попарно различных равносторонних треугольников составить выпуклый многоугольник?

{\bf 10.} Пусть $A$ --- множество всех бесконечных целочисленных последовательностей, $f: A\to \mathbb{Z}$ такова, что $\forall s,t\in A$ $f(s+t)=f(s)+f(t)$ и $f(u)=0$ для всех последовательностей $u$, в которых все члены, начиная с некоторого, равны $0$.
Докажите, что $f\equiv 0$.

\end{document}